Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам кольца целых чисел Z . Делимость многочленов. Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления "углом" использует только арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для двух ненулевых многочленов p,sk[x] построить такие многочлены q (неполное частное) и r (остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0, либо deg(r)< deg(s). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным (или приведенным), если его старший коэффициент равен 1. Определение. Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД(p, s), что 1. ОНД(p, s) | p; ОНД(p, s) | s. 2. q | p, q | s q | ОНД(p, s). По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0. Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов. Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения. Основная теорема теории делимости (для многочленов). Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q. Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги. Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень(но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0, то deg(r) Замечание. Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Следствие. Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным. В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда, где По определению идеала отсюда вытекает, что, а значит, I =(p). Разложение на множители. Пусть k некоторое поле, p, q, s - многочлены над k. Если p=q*s, причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p, то многочлен p называется приводимым (над полем k). В противном случае p неприводим. Неприводимый многочлен в кольце k[x] является аналогом простого числа в кольце Z . Ясно, что каждый ненулевой многочлен p= можно разложить в произведение: p= *, где все многочлены неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать, что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые; такие множители называются кратными. Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде: p= 0. Примеры. 1. . Заметим, что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем. Множитель x является кратным, остальные - простые. 2. Многочлен неприводим над полем Q рациональных чисел. В самом деле, если ()=(x-a)*q, то подставляя в это равенство x=a, получаем: , что невозможно ни для какого рационального числа a. Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим: , причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R . Наконец, над полем C комплексных чисел имеем: , где = - кубический корень из 1. На этом примере мы видим, что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен. Свойства неприводимых многочленов. 1 .Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) 1, то p | q. В самом деле, p = d*s и если deg(s)>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s)=0, то d | qp | q. 2. Если p | и p неприводим, то либо p | либо p | . Действительно, в противном случае НОД(p,) = НОД(p,) =1 и потому по основной теореме теории делимости, откуда: и значит, то есть НОД(p,)=1 и, следовательно, deg (p)=0.

Далее будем рассматривать только многочлены с коэффициентами из области целостности K (кольцо без делителей нуля называют областью целостности), т. е. из кольца K, в котором произведение двух элементов может равняться нулю, если только один из сомножителей равен нулю. Это всегда будет подразумеваться, даже если не будет оговорено специально.

При произведении многочленов степени n и степени m старший член, как следует из формулы (2), равен (это коэффициент при). Так как в кольце нет делителей нуля, то и, значит, . Из нашего рассуждения следует также, что

Эта формула является уточнением неравенства (5) для случая, когда в кольце K нет делителей нуля. Формула (6) также справедлива и тогда, когда один из многочленов f(x), g(x) или они оба равны нулю. Итак, произведение двух ненулевых многочленов - ненулевой многочлен, поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности.

Данное нами алгебраическое определение многочлена не содержит никакого упоминания о функциях. Тем не менее, с каждым многочленом над областью целостности K можно естественным образом связать функцию, которая определена на K и принимает значения в K.

Пусть - многочлен с коэффициентами из K. Для любого положим

где выражение в правой части понимается как результат операций в кольце K. Получаемый при этом элемент называется значением многочлена f(x) в точке x0. (Слово "точка" употребляется по аналогии со случаем, когда x0 можно представлять как точку действительной оси) Таким образом, каждому элементу x0 кольца K сопоставляется элемент f(x0) того же кольца и тем самым определяется функция на K со значениями в K.

Покажем, что сложение и умножение многочленов согласуются с обычными операциями, производимыми над функциями, когда складываются или, соответственно, перемножаются значения функций в каждой точке.

Рассмотрим два многочлена: , . Пусть h(x) = f(x) + g(x) - их сумма. Докажем, что h(x0) = =f(x0) + g(x0) для любого. В соответствии с формулой (1) = , где, что и требовалось доказать.

Пусть теперь - произведение многочленов f(x) и g(x). Докажем, что для любого. Перемножим равенства, . Пользуясь свойствами операций в кольце K (в частности, коммутативностью и ассоциативностью умножения), получим: , где. Сравнение полученного результата с формулой (2) позволяет сделать вывод, что.

Таким образом, функция, определяемая суммой (соответственно произведением) двух многочленов, есть сумма (соответственно произведение) функций, определяемых этими многочленами.

Вообще говоря, соответствие между многочленами и определяемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Однако, если кольцо K бесконечно, то различным многочленам из кольца K [x] всегда соответствуют различные функции.

ЛЕКЦИЯ 7.

Кольцо многочленов от одного неизвестного

Определение многочлена . Из школьного курса известна задача решения уравнения второй степени вида

где
. Решить уравнение (7.1) – это значит найти такое значение неизвестного , которое при подстановке в уравнение (предикат ) (7.1) обращает его в числовое тождество (в истинное высказывание ).

Пример 7.1. Найти множество истинности предиката

.

Р е ш е н и е. Рассмотрим тождественное преобразование правой части указанного предиката:

.

Приравнивая последнее выражение к нулю, получаем формулу

,

которая даёт значения неизвестных, обращающих предикат
в истинное высказывание. Следовательно, множество истинности предиката
в общем случае состоит из двух элементов

,

значения которых вычисляются через значения коэффициентов квадратного трёхчлена
. Выражение
, стоящее под знаком квадратного корня, называется дискриминантом уравнения
. Возможны три случая:

1)
– в этом случае множество истинности предиката состоит из одного действительного числа
(квадратное уравнение
имеет один вещественный корень);

2)
– в этом случае множество истинности предиката состоит из двух вещественных чисел, которые вычисляются по выписанным выше формулам (квадратное уравнение
имеет два вещественных корня);

3)
– в этом случае множество истинности предиката состоит из двух комплексно сопряжённых чисел:

(уравнение
имеет комплексно сопряжённые корни).

В общем случае мы приходим к задаче решения уравнения - й степени относительно одного неизвестного

коэффициенты
которого будем считать произвольными комплексными числами , причём старший коэффициент
. Решить уравнение (7.2) – это значит найти такие значения неизвестного , которые, будучи подставлены в уравнение (7.2), обращают его в числовое тождество. Задачу решения уравнения (7.2) заменяют более общей задачей изучения левой части этого уравнения .

Определение 7.1. Многочленом , или полиномом степени от одного неизвестного (или буквы ) называется формальное выражение вида

, (7.3)

то есть формальная алгебраическая сумма целых неотрицательных степеней неизвестного , взятых с некоторыми, вообще говоря, комплексными коэффициентами , ,
, ,
.

Обозначают многочлены различными буквами латинского и греческого алфавитов, как большими , так и малыми .

Степенью многочлена (7.3) называется наивысшая степень неизвестного , при которой коэффициент
. Многочлен нулевой степени – это многочлен, состоящий из одного, неравного нулю комплексного числа. Число нуль – это тоже многочлен, степень которого не определена .

Степень многочлена , если это необходимо, обозначается нижним индексом, например
, или символом
. Наряду с записью многочленов в форме (7.3) часто применятся форма записи по возрастающим степеням , то есть

Равенство, сумма и произведение многочленов . Многочлены можно сравнивать и производить над ними действия сложения и умножения.

Определение 7.2. Два многочлена
и
считаются равными и пишут
в том и только в том случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного .

Никакой многочлен, хотя бы один коэффициент которого отличен от нуля, не может быть равным нулю. Поэтому знак равенства в записи уравнения -й степени не имеет отношения к равенству многочленов.

В математическом анализе равенство многочленов
рассматривается как равенство двух функций, то есть,

.

Если многочлены равны в смысле определения 7.2, то они равны и в смысле равенства функций. Обратное является следствием сформулированной ниже основной теоремы алгебры многочленов.

Введём две алгебраические операции над многочленами с комплексными (в общем случае) коэффициентами – сложение и умножение .

Определение 7.3. Пусть даны два многочлена

,
,

,
.

Для определённости положим
. Суммой данных многочленов называется многочлен

коэффициенты которого равны сумме коэффициентов при одинаковых степенях неизвестного :

.

Причём, если
полагают .

Отметим, что степень суммы двух многочленов при
равна , а при
может оказаться меньше , а именно при
.

Определение 7.4. Произведением многочленов

,
,

,

называется многочлен

коэффициенты которого находятся по формуле

, . (7.4)

Таким образом, коэффициент произведения двух многочленов с индексом
равен сумме всевозможных произведений коэффициентов многочленов
и
, сумма индексов которых равна , а именно:

,
,
,
.

Из последнего равенства имеем
. Следовательно, степень произведения двух многочленов равна сумме степеней этих многочленов:

По определению полагают, что степень многочлена

.

Мы получили следующий результат.

Лемма 7.1. Пусть
и
– два многочлена. Тогда их произведение .

Пример 7.2. Пусть даны два многочлена разной степени, например,

,
.

Тогда их сумма и произведение есть, соответственно:

.

Итак, во множестве многочленов с комплексными коэффициентами введены две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение . Свойства этих операций устанавливаются следующей теоремой.

Теорема 7.1. Множество всех многочленов с комплексными коэффициентами является коммутативным и ассоциативным кольцом с единицей .

Доказательство теоремы сводится к проверке аксиом кольца, и мы его опустим. Отметим только, что нулём для операции сложения является число (многочлен) , а единицей для операции умножения является число (многочлен) .

Кольцо многочленов обозначают
, где
– символ поля, над которым определён многочлен. Таким образом, теорема 7.1 утверждает: множество всех многочленов с комплексными коэффициентами является кольцом
.

Делимость многочленов . Многочлен
имеет обратный многочлен
, в том и только в том случае, если
– многочлен нулевой степени. Действительно, если
, то обратный многочлен
. Если же
, то степень левой части
при условии, что
существует, должна быть не меньше
, но правая часть последнего равенства является многочленом нулевой степени. Итак, в кольце многочленов
для операции умножения не существует обратной операции деления . В кольце многочленов, однако, существует алгоритм деления с остатком .

Теорема 7.2. Для любых двух многочленов
и
существуют такие многочлены
и
, что

, (7.5)

где , или
. Представление (7.5) единственно .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
и
. Представим многочлены
и
в виде

Если
или
, то положим в (7.5)

,
.

Тогда, очевидно, (7.5) выполняется. Поэтому предположим, что
. Положим:

. (7.6)

Обозначим старший коэффициент многочлена
через . Очевидно, что
. Если
, то положим:

. (7.7)

Старший коэффициент многочлена
обозначим . Если
, то опять положим

(7.8)

и так далее. Степени
многочленов
, очевидно, убывают. После конечного числа шагов получим

, (7.9)

где или
, или
. После этого процесс прекращается.

Складывая равенства (7.6) – (7.9) , получаем

Обозначая сумму в круглых скобках
, а
, получаем (7.5), причём либо
, либо степень
.

Докажем единственность (7.5). Пусть

где или
, или . Из (7.5) и (7.11) имеем:

Степень многочлена в левой части последнего равенства не меньше степени
, а степень многочлена в правой части или нулевая, или меньше степени
. Поэтому последнее равенство выполняется лишь при равенств

,
.

Многочлен
в формуле (7.5) называется частным от деления многочлена
на многочлен
, а многочлен
называется остатком от этого деления. Если
, то говорят, что многочлен
делится на многочлен
, который называют делителем многочлена
. Выясним, когда многочлен
делится на многочлен
.

Теорема 7.3. Многочлен
делится на многочлен
в том и только в том случае, если существует такой многочлен
, что

. (7.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если
делится на
, то в качестве
следует взять частное от деления
на
. Обратно, пусть многочлен, удовлетворяющий равенству (7.12), существует. Тогда из доказанной в теореме 7.1. единственности многочленов
и
в представлении (7.5) и условия того, что степень
меньше степени
, следует, что частное от деления
на
равно
, а остаток
.

Следствие из теоремы 7.3. Если многочлен
и его делитель
имеют рациональные или действительные коэффициенты, то и частное
также будет иметь рациональные или действительные коэффициенты.

Пример 7.3. Выполнить деление с остатком многочлена

на многочлен
.

Р е ш е н и е. Алгоритм деления (7.6) – (7.9) реализуем в форме «деления уголком »:

Итак, частное
, остаток
. Поэтому имеет место представление следующего вида

которое можно проверить непосредственным умножением.

Определение 7.5. Пусть
и
– два многочлена. Многочлен
называется наибольшим общим делителем (НОД ) этих многочленов, если он является их общим делителем и сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

НОД многочленов
и
обозначается . Сформулируем и докажем теорему, дающую конструктивный алгоритм нахождения НОД для любых двух многочленов.

Теорема 7.4 (алгоритм Евклида). Для любых двух многочленов
и
существует наибольший общий делитель

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала сформулируем алгоритм Евклида нахождения
, а потом докажем, что полученный в процессе реализации этого алгоритма многочлен является наибольшим общим делителем двух данных многочленов.

Сначала делим многочлен
на многочлен
и получаем в общем случае некоторый остаток
. Далее делим
на
и получаем остаток
, делим
на
и получаем остаток
и так далее. В результате таких последовательных делений мы придём к остатку
, на который делится предыдущий остаток
. Этот остаток и будет наибольшим общим делителем данных многочленов.

Для доказательства выпишем последовательно цепочку делений:

Последнее равенство показывает, что
является делителем для
. Поэтому оба слагаемых в правой части предпоследнего равенства делятся на
и, следовательно, на
делится и
. Поднимаясь по цепочке делений вверх, получим, что
является делителем и для
,
,
,
. Из второго равенства цепочки видим, что
является делителем и для
и, следовательно, на основании первого равенства – для
. Итак,
является общим делителем для
и
.

ЛЕКЦИЯ 14

Пусть K – некоторое коммутативное кольцо.

Определение. Стандартным многочленом (или полиномом) степени от одной переменной x над коммутативным кольцом K называется выражение вида

Элементы называются коэффициентами многочлена. Все они, или часть из них, могут быть нулевыми.

Каноническая форма многочлена (23) определяется следующим образом.

Находим наибольшее , такое, что , скажем и запишем

Степенью многочлена называется число , если оно существует.

Если же все обращаются в нуль, то канонической формой многочлена является 0.Число по определению считается многочленом с нулевыми коэффициентами и называется нулевым многочленом. Степень нулевого многочлена неопределенна.

Степень многочлена обозначается (дигри).

В зависимости от того, какому из множеств принадлежат коэффициенты , различаются следующие типы многочленов:

· с булевыми коэффициентами ;

· с целочисленными коэффициентами ;

· с вещественными коэффициентами ;

· с рациональными коэффициентами ;

· с комплексными коэффициентами .

Пусть и - два многочлена:

Определение. Многочлены и равны тогда и только тогда, когда , при которых определены, а все остальные , равны нулю.

Обозначение .

Из определения равенства многочленов следует:

1.Нулевой многочлен равен только нулевому многочлену.

2.Для ненулевых многочленов

равенство означает,что

Замечание. Равенство многочленов определённое таким образом означает тождественное или формальное равенство в отличие от равенства многочленов как функций .

Множество всех многочленов от переменной x с вещественными коэффициентами обозначим .

На множестве всех многочленов от переменной x с вещественными переменными определены две алгебраические операции –сложение и умножение многочленов.

Пусть имеется два многочлена степени и степени .

Определение . Суммой двух многочленов и называется многочлен

Из определения суммы многочленов следует:

1.Для любого многочлена

2. Для ненулевых многочленов и

т. е. операция сложения многочленов и является алгебраической операцией на множестве всех многочленов .

Определение. Произведением двух многочленов и называется многочлен

Замечание. Суммированиев

ведётся по всем индексам i и j, для которых i+j=k.

Из определения умножения многочленов следует:

1. Произведение ненулевых многочленов не может быть нулевым, при этом

2. Если , , то , т.е. умножение многочленов является алгебраической операцией на множестве .

3. Операция умножения многочленов с вещественными коэффициентами порождает операцию умножения многочлена на число из как частный случай умножения многочленов. Если , то

Теорема. Множество всех многочленов с коэффициентами из является коммутативным кольцом с единицей и без делителей нуля .

Доказательство. Проверим все аксиомы кольца.

1. - аддитивная абелева группа. Коммутативность и ассоциативность сложения очевидны (2). Нулем является нулевой многочлен. Противоположным (обратным) к многочлену является многочлен .

2. - моноид (полугруппа с единицей).

2.1. Коммутативность умножения следует из определения.

2.2. Докажем ассоциативность умножения.

Рассмотрим произведение многочленов

Учитывая, что

операция умножения многочленов из - ассоциативна.

2.3 Роль единицы при умножении многочленов

Пример . Пусть заданы два многочлена с булевыми коэффициентами, т.е. .

Суммой многочленов является многочлен вида:

а произведением – многочлен :

Можно показать, что введенная операция умножения многочленов ассоциативна, следовательно многочлены образуют по операции умножения полугруппу, и эта полугруппа коммутативна.

Вывод . Многочлены с целочисленными коэффициентами образуют коммутативное кольцо. Можно показать, что многочлены с рациональными, вещественными и комплексными коэффициентами также образуют соответствующие кольца многочленов. В общем случае говорят о «кольцах многочленов над кольцом .

В частности, для этих колец можно развить теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел.

Эти кольца получили название колец главных идеалов. Пусть – кольцо целостности с единицей – коммутативное кольцо без делителей нуля, в котором понятие правого и левого делителя элемента совпадают. Определение делимости элементов этого кольца можно сформулировать так:

Определение. Если для элементов кольца целостности в кольце существует такой элемент , что , то говорят, что элемент делится на , и пишут или делит , и пишут , или .

Из определения делимости двух элементов вытекают следующие свойства делимости в кольце целостности:

Эти свойства являются распространением на кольцо целостности соответствующих свойств делимости в кольце целых чисел.

5. Каждый элемент делится на любой делитель единицы . Действительно, если – делитель единицы, то и – также делитель единицы, а это означает, что , тогда и, следовательно, .

6. Если делится на , то делится и на , где – любой делитель единицы.

Действительно, из равенства следует равенство и, следовательно, .

7. Каждый элемент из делителей и , где – любой делитель единицы, является делителем и другого.

Действительно, из равенства следует равенство , а из равенства – равенство . Следовательно, если , то , и наоборот.

В дальнейшем будем рассматривать элементы кольца целостности , отличные от нуля.

Определение. ассоциированными , если каждый из них является делителем другого:

Из равенства (55) следует, что . Отсюда, сократив обе части полученного равенства на , получаем . Следовательно, и являются делителями единицы. Таким образом, если и – ассоциированные элементы, то , где – некоторый делитель единицы. С другой стороны, какой бы мы не взяли делитель единицы , элементы и ассоциированные между собой, поскольку .

Определение. Элементы кольца целостности называются ассоциированными , если , где – некоторый делитель единицы.

Пример. В кольце целых чисел ассоциированными являются пары чисел .

Если и ассоциированные элементы кольца целостности, то . Отсюда следует, что – главный идеал, порожденный элементом является подмножеством – главного идеала, порожденного элементом и наоборот:

Это означает, что два ассоциированных элемента , кольца целостности порождают один и тот же главный идеал.

Пусть – произвольные элементы кольца целостности .

Определение. Элемент называется общим делителем элементов и , если каждый из этих элементов делится на .

По свойству 5 все делители единицы кольца целостности являются общими делителями элементов и . Но у элементов и могут быть и другие общие делители. Введем понятие наибольшего общего делителя (НОД) этих элементов. Определение НОД двух целых чисел, по которому НОД называют наибольший из общих делителей, распространить на кольцо целостности нельзя, т.к. в произвольном кольце целостности нет отношения порядка. Однако можно ввести и другое определение НОД двух чисел и , а именно: НОД двух чисел и называется такой общий делитель этих чисел, который делится на любой другой их общий делитель. Именно это определение НОД и распространяется на элементы кольца целостности .

Определение. Наибольшим общим делителем двух элементов кольца целостности называется такой элемент , обозначаемый символом и обладающий двумя свойствами:

Замечание. Ясно, что вместе с свойствами 1., 2. Обладает любой ассоциированный с ним элемент. Действительно, если – НОД элементов , то формально это записывается в виде или . Если также и , то элементы и делятся друг на друга и, следовательно, являются ассоциированными. С другой стороны, если , то, очевидно, , где – любой делитель единицы. Таким образом НОД элементов определяется с точностью до сомножителя , который является делителем единицы.

С учетом этого замечания к свойствам 1., 2. Наибольшего общего делителя добавляются следующие:

Свойство 6. позволяет распространить понятие НОД на произвольное конечное число элементов кольца целостности .

По аналогии с вводится дуальное понятие наименьшего общего кратного элементов кольца целостности определенного с точностью до ассоциированности и обладающее также двумя свойствами:

В частности, полагая , получаем, что .

Теорема. Если для элементов кольца целостности существуют и . Тогда

Доказательство. Утверждение а) вытекает непосредственно из определения . Для доказательства б) необходимо убедиться, что элемент , определенный равенством , обладает свойствами 1., 2. НОД. Действительно, из , следовательно , откуда после сокращения на , допустимого в любом кольце целостности , имеем , т.е. . Аналогично , т.е. . Этим доказано свойство 1. Для доказательства свойства 2. Представим . Положим . Тогда – общее кратное элементов и . Согласно свойству для некоторого , откуда , т.е. и , что и требовалось доказать.

Определение. Элементы кольца целостности называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от делителей единицы, т.е. если НОД.

Пусть – произвольный делитель единицы, и – произвольный элемент кольца целостности . Тогда из условия следует, что . Это означает, что все элементы ассоциированные с элементом , и все делители единицы являются делителями элемента . Их называют тривиальными или несобственными делителями элемента . Все делители отличные от и , если такие существуют в , называются нетривиальными , или собственными делителями элемента .

Пример. В кольце целых чисел тривиальными делителями числа 10 являются числа и , а нетривиальными – числа и .

Определение. Элемент кольца целостности называется неразложимым, или простым, если он не является делителем единицы и не имеет нетривиальных делителей; элемент называется разложимым, или составным, если он имеет нетривиальные делители.

Другими словами, элемент называется разложимым, если его можно представить в виде произведения двух нетривиальных делителей ; элемент – называется неразложимым, если его нельзя представить в виде произведения двух нетривиальных делителей.

Пример. В кольце целых чисел неразложимыми являются числа т.е. простые числа и противоположные простым. Все остальные числа отличные от , – разложимы.

Неразложимые элементы обладают следующими свойствами:

· если элемент кольца целостности неразложимый, то и любой ассоциированный с ним элемент также неразложимый;

· если – произвольный элемент кольца целостности , а – неразложимый элемент из , то или делится на , или и – взаимно простые элементы из .

Действительно, первое свойство следует непосредственно из свойства 7 делимости элементов кольца целостности. Второе свойство докажем следующим образом. Если НОД, то как делитель неразложимого элемента , является либо некоторым делителем единицы , либо элементом вида . В первом случае элементы и взаимно простые, во втором – делится на .,дает возможность выделить – кольцо с однозначным разложением, то из равенств и оба разложения отличаются лишь порядком простых элементов, снабженных, возможно, какими–то обратимыми сомножителями.. Таким образом в или с необратимыми следовало бы , т.е. , что невозможно, поскольку уравнение с неразрешимо. Этим доказана простота элементов 3 и .

В предыдущей главе мы подробно рассмотрели кольца Z m и поля Z * p , элементами которых являлись целые числа. Выяснили, что Z p * является циклической группой относительно умножения, а также заметили, что любое конечное поле размерности p изоморфно Z * p для подходящего p .

Рассмотрим произвольный многочлен степени k с коэффициентами из Z m :

f (x ) = a k x k + … + a 1 x + a 0 .

Степень многочлена будем обозначать как deg f (x ).

В силу того, что Z m – коммутативное кольцо, множество всех многочленов с коэффициентами из Z m также образуют коммутативное кольцо Z m [x ] вместе с операциями сложения и умножения многочленов. Операция сложения многочленов f (x ) = a k x k + … + a 1 x + a 0 и g (x )=b k x k + … + b 1 x+b 0 задается как

f (x )+g (x ) = (a k +b k mod m ) x k + … + (a 1 +b 1 mod m ) x + (a 0 +b 0 mod m ),

умножение как

f (x )g (x ) = (a k b k mod m ) x 2k +(a k- 1 b k +a k b k- 1 mod m )x 2k -1 … + (a 1 b 0 +a 0 b 1 mod m ) x + +(a 0 b 0 mod m ),

то есть как обычное сложение и умножение многочленов, но операции сложения и умножения коэффициентов производятся по модулю m .

Пример 1.

Рассмотрим Z 2 [x ]. Это множество состоит из всех многочленов с коэффициентами из {0,1}. Возьмем два многочлена из Z 2 [x ]:

f (x ) = x 4 +x 2 +1,

g(x) = x 4 +x 3 +x +1.

Вычислим сумму и произведение этих многочленов.

f (x )+g (x ) = (1+1 mod 2)x 4 + (1+0 mod 2)x 3 + (0+1 mod 2)x 2 + (1+0mod 2)x + + (1+1 mod 2) = x 3 +x 2 +x .

f (x )g (x ) = (x 4 +x 2 +1)(x 4 +x 3 +x +1) = x 8 + x 7 + (2 mod 2)x 5 + (2 mod 2) x 4 + x 6 + (2 mod 2) x 3 + x 2 + x + 1 = x 8 + x 7 + x 6 + x 2 + x + 1.

Многочлен из Z m [x ] называется неприводимым над Z m , если его нельзя представить в виде произведения каких-либо двух многочленов из Z m [x ]. Понятие неприводимого многочлена в кольце многочленов эквивалентно понятию простого числа в кольце целых чисел.

Так же как и для кольца целых чисел, для колец полиномов справедлива

Теорема (о делении с остатком)

Единственная пара многочленов

0 ≤ deg r (x ) < deg g (x ): f (x )=g (x )q (x )+r (x ).

Пример 2.

Разделим многочлен f (x ) =x 7 +x 4 +x 2 +1 на g (x ) = x 3 +x +1 с остатком над Z 2 [x ].

Деление будем производить «в столбик».

- x 7 + x 4 +x 2 +1 │ x 3 +x +1

x 7 + x 5 +x 4 │x 4 +x 2 +1

_ x 5 + x 2 +1

x 5 + x 3 + x 2

_ x 3 + 1

x 3 + x +1

Итак, f (x ) = g (x )( x 4 +x 2 +1) +x .

В силу справедливости данной теоремы, над кольцом Z m [x ] можно определить теорию делимости и теорию сравнений, как и над Z.

Если существует многочлен h (x ): f (x )=h (x )g (x ), то говорят, что g (x ) делит f (x ) и пишут g (x )\f (x ).

Если g 1 (x ) и g 2 (x ) имеют одинаковые остатки при делении на f (x ), то говорят, что g 1 (x ) и g 2 (x ) сравнимы по модулю f (x ) и пишут g 1 (x )≡g 2 (x ) (mod f (x )).

Свойства, справедливые для сравнений над кольцом целых чисел, справедливы и для сравнений над кольцами многочленов.

3.2. Кольцо многочленов Z p [x ].

Рассмотрим более подробно кольцо многочленов Z p [x ], где p – простое число.

Справедлива

Теорема (о единственности разложения).

, если g(x)≠0, существует единственное разложение g (x )=a ·f 1 (x )∙f 2 (x )∙…∙f n (x ), где, f i (x ) – приведенные неприводимые (не обязательно различные) многочлены над Z p [x ] .