Теоретический материал по данной теме изложен на с. 228-236 данного издания.

Пример 30 . Проверить, является ли векторное поле

а) потенциальным; б) соленоидальным. Если поле потенциально, найти его потенциал.

Решение. А) Находим ротор поля

Следовательно, поле - потенциально.

Б) Найдем дивергенцию поля

Следовательно, поле не соленоидально.

В) Так как , то потенциал поля может быть вычислен по формуле

Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от пути интегрирования. Здесь за начальную точку удобно взять начало координат . В качестве пути интегрирования возьмем ломаную ОАВМ (рис. 17).

Рис. 17

1. На отрезке следовательно

2. На отрезке отсюда

3. На отрезке отсюда

Итак, где - произвольная постоянная.

Окончательно,

Задания на контрольные работы № 5-8

Номера задач выбираются по таблице в соответствии с последними двумя цифрами шифра и первой буквой фамилии. Например, студент Иванов, шифр 1-45-5815, решает в контрольной работе 5 задачи 5, 15, 21,31, в контрольной работе 6 - задачи 45, 51, 61, 71, в контрольной работе 7 - задачи 85, 91, 101, 111, в контрольной работе 8 - задачи 125,135,141,151.

Последняя цифра шифра
Номер контрольной работы
Предпоследняя цифра шифра
Номер контрольной работы
Первая буква фамилии	А,И Т	Б,ОЦ	В,НХ	Г,ФЯ	Д,ЗЛ	Е,МР	Ж,СЧ	К Э	П Щ	У,ШЮ
Номер контрольной работы

Контрольная работа №5

В задачах 1-10 найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

В задачах 11-20 найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка

В задачах 21-30 найти общее решение линейных уравнений второго порядка

В задачах 31-40 найти область сходимости степенных рядов

Контрольная работа №6

В задачах 41-50 разложить функцию в ряд Маклорена, определить область сходимости ряда

В задачах 51-60 построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования

61. Вычислить площадь поверхности части сферы , вырезанной цилиндром и плоскостью .

62. Вычислить площадь плоской пластины, ограниченной линиями: и (вне параболы).

63. Вычислить площадь поверхности цилиндра, , отсеченной плоскостями .

64. Найти объем тела, ограниченного поверхностями , , , , .

65. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: и , лежащего в I октанте при .

66. Найти площадь плоской пластины, ограниченной линиями , .

67. Определить площадь части круга , находящейся вне круга (использовать полярные координаты).

68. Вычислить массу однородной плоской пластины (),

ограниченной окружностью и прямыми и .

69. Найти массу пластины с плотностью , ограниченную линиями , , .

70. Найти массу пластины с плотностью , заданной неравенствами: .

В задачах 71-80 вычислить криволинейные интегралы по кривой :

Контрольная работа №7

В задачах 81-86 разложить функции в ряд Фурье; построить график заданной функции

81.

82.

83.

84.

85.

86.

В задачах 87, 88 разложите функцию в ряд Фурье по синусам; постройте график заданной функции.

87.

88.

В задачах 89,90 разложите функцию в ряд Фурье по косинусам; постройте график заданной функции.

89.

90.

В задачах 91-95 решить методом Фурье волновое уравнение на заданном отрезке с граничными условиями и заданными начальными условиями.

91.

93.

95.

В задачах 96-100 решить методом Фурье уравнение теплопроводности на данном отрезке при заданном начальном условии и граничных условиях .

96.

97.

98.

99.

100.

В задачах 101-106 вычислить тройной интеграл по области T , заданной неравенствами. Сделать чертеж.

103.
(при вычислении интегралов перейдите к цилиндрическим координатам).

105. (при вычислении интегралов перейдите к цилиндрическим координатам).

В задачах 107-110 найти массу тела, заданного неравенствами и имеющего заданную плотность . Сделать чертеж.

108. (при вычислении тройного интеграла перейти к цилиндрическим координатам).

110. (при вычислении тройного интеграла перейти к цилиндрическим координатам).

В задачах 111-120 вычислите поверхностный интеграл. Сделайте чертеж поверхности.

111. где - часть плоскости ограниченная координатными плоскостями.

112. - верхняя сторона части параболического цилиндра , ограниченная круговым цилиндром и плоскостью . При вычислении интеграла по перейдите к полярным координатам.

113. - часть поверхности цилиндра , ограниченная плоскостями

114. , где - часть поверхности конуса , ограниченная плоскостями и (при вычислении двойного интеграла перейдите к полярным координатам).

115. , - часть кругового цилиндра , ограниченная плоскостями

116. - верхняя сторона части конуса , ограниченной плоскостями . При вычислении интеграла по перейти к полярным координатам.

117. , где - верхняя сторона части сферы . При вычислении двойного интеграла перейдите к полярным координатам.

118. , где - верхняя сторона части плоскости , ограниченной координатными плоскостями.

119. , - часть параболического цилиндра ограниченная координатными плоскостями и плоскостью .

120. ; - верхняя сторона части кругового цилиндра , ограниченная круговым цилиндром и плоскостью Перейдите к полярным координатам.

Контрольная работа № 8

В задачах 121-130 найдите градиент скалярного поля и проверьте, является ли скалярное поле гармоническим.

В задачах 131-135 найдите поток векторного поля через часть поверхности , лежащую в первом октанте в направлении нормали, образующей острый угол с осью . Сделайте чертеж.

В задачах 136-140 вычислите с помощью теоремы Остроградского поток векторного поля в сторону внешней нормали через поверхность тела, лежащего в первом октанте и ограниченного заданной поверхностью и координатными плоскостями. Сделайте чертеж.

В задачах 141-150 вычислите циркуляцию векторного поля по пути пересечения с координатными плоскостями той части поверхности , которая лежит в первом октанте . - точки пересечения поверхности с осями соответственно. Сделайте чертеж.

В задачах 141-145 вычислите циркуляции с помощью теоремы Стокса.

В задачах 146-150 вычислите циркуляцию с помощью ее определения.

В задачах 151-160 проверьте является ли векторное поле : а) потенциальным, б) соленоидальным. Если поле потенциально, найдите его потенциал.

152.

155.

Текущий контроль

Тестовые задания

1. Определить какое уравнение имеет следующее решение .

а) б) в)

2. Определите характеристическое уравнение для дифференциального уравнения

а) б) в)

3. Определить при каком значении будет сходиться степенной ряд по признаку Даламбера .

4. Сформулируйте геометрическую интерпретацию двойного интеграла.

5. Сформулируйте геометрическую интерпретацию тройного интеграла.

6. Определите признак потенциальности векторного поля :

а) б) в)

Итоговый контроль

Вопросы для подготовки к экзамену по математике

(III семестр)

Дифференциальные уравнения

1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка и решения. Дифференциальное уравнение первого порядка, поле направлений, изоклины.

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

3. Определение общего и частного решения (интеграла) дифференциального уравнения первого порядка.

4. Уравнение с разделяющимися переменными, его интегрирование.

5. Линейное уравнение первого порядка, его интегрирование.

6. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка, его интегрирование.

7. Дифференциальное уравнение n -го порядка. Задача Коши для дифференциального уравнения n -го порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n -го порядка.

8. Определение общего и частного решения дифференциального уравнения n -го порядка. Интегрирование уравнения вида .

9. Уравнения, допускающие понижение порядка. Метод интегрирования уравнения вида , где k < n.

10. Метод интегрирования уравнения вида .

11. Определение линейного дифференциального уравнения n -го порядка. Однородное линейное уравнение. Свойства решений однородного линейного уравнения.

12. Определение линейно-зависимых и линейно-независимых функций. Примеры.

13. Определение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n -го порядка.

14. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n -го порядка.

15. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера, характеристическое уравнение.

16. Построение фундаментальной системы решений и общего решения линейного однородного уравнения n -го порядка в случае вещественных различных корней характеристического уравнения. Пример.

17. Построение фундаментальной системы решений и общего решения линейного однородного уравнения n -го порядка в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения. Пример.

18. Построение фундаментальной системы решений и общего решения линейного однородного уравнения n -го порядка в случае вещественных равных корней характеристического уравнения. Пример.

19. Правило нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , где - многочлен степени .

20. Правило нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , где .

21. Метод решения линейного неоднородного дифференциального уравнения вида (принцип наложения).

22. Система линейных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Определение общего и частного решения системы. Метод исключения для нормальных систем дифференциальных уравнений.

23. Системы линейных дифференциальных уравнений. Свойства решений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Ряды

24. Числовые ряды. Определение n -ой частичной суммы ряда. Понятия сходимости и расходимости числового ряда. Сумма сходящегося ряда. Геометрический ряд.

25. Свойства сходящихся рядов: умножение ряда на число, почленное сложение рядов.

26. Остаток ряда. Теорема об одновременной сходимости ряда и его остатка.

27. Необходимый признак сходимости ряда. Иллюстрация его недостаточности на примере.

28. Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда.

29. Первый и второй признаки сравнения положительных рядов.

30. Признак Даламбера.

31. Интегральный признак Коши.

32. Обобщенный гармонический ряд , где p – любое действительное число. Поведение ряда при p <1, p =1, p >1.

33. Знакопеременные ряды. Абсолютная и неабсолютная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

34. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Оценка абсолютной погрешности при замене суммы сходящегося ряда суммой первых n

42. Биномиальный ряд для функции .

Теория поля

Известная также, как векторный анализ . А кому-то векторный анализ, известный как теория поля =) Наконец-то мы добрались до этой интереснейшей темы!Данный раздел высшей математики язык не поворачивается назвать простым, однако ж, в грядущих статьях я постараюсь достигнуть двух целей:

а) чтобы все понимали, о чём вообще идёт разговор;

б) и чтобы «чайники» научились решать, как минимум, простые вещи – хотя бы на уровне заданий, которые предлагаются студентам-заочникам.

Весь материал будет изложен в популярном стиле, и если вам нужна более строгая и полная информация, то можно взять, например, 3-й том Фихтенгольца или заглянуть в Вики .

И сразу расшифруем заголовок. С теорией, думаю, всё понятно – в лучших традициях сайта мы разберём её основы и сделаем основной упор на практику. Ну а с чем у вас ассоциируется слово «поле»?

Поле с травой, футбольное поле…. Ещё? Поле деятельности, поле экспериментов. Приветствую гуманитариев! …Из школьного курса? Электрическое поле, магнитное, электромагнитное…, так, хорошо. Гравитационное поле Земли, в котором мы находимся. Отлично! Так, кто это там сказал о поле действительных и комплексных чисел ? …совсем какие-то монстры здесь собрались! =) Благо, алгебра уже пройдена.

На ближайших уроках мы познакомимся со специфическим понятием поля , конкретными примерами из жизни, а также научимся решать тематические задачи векторного анализа. Теорию поля лучше всего изучать, как вы правильно догадываетесь, на поле – природе, где есть лес, речка, озеро, деревенский домик, и я приглашаю всех погрузиться если и не в тёплую летнюю реальность, то в приятные воспоминания:

ПолЯ в рассматриваемом сегодня смысле бывают скалярные и векторные , и начнём мы с их «кирпичиков».

Во-первых, скаляр . Довольно-таки часто этот термин ошибочно отождествляют с числом . Нет, всё обстоит немного не так: скаляр – это величина, каждое значение которой может быть выражено лишь одним числом . В физике примеров масса: длина, ширина, площадь, объём, плотность, температура и др. Всё это скалярные величины. И, кстати, масса – тоже пример.

Во-вторых, вектор . Алгебраического определения вектора я коснулся на уроке о линейных преобразованиях и одну из его частных ипостасей не знать просто невозможно =) Типичный вектор выражается двумя или бОльшим количеством чисел (своими координатами). И даже для одномерного вектора лишь одного числа не достаточно – по той причине, что у вектора есть ещё направление. И точка приложения, если вектор не свободен . Векторами характеризуют силовые физические поля, скорость и многие другие величины.

Ну что же, теперь можно приступить к сбору алюминиевых огурцов урожая:

Скалярное поле

Если каждой точке некоторой области пространства поставлено в соответствие определённое число (чаще действительное ), то говорят, что в этой области задано скалярное поле .

Рассмотрим, например, исходящий из земли перпендикулярный луч . Воткните для наглядности лопату =) Какие скалярные поля можно задать на этом луче? Первое, что напрашивается – это поле высоты – когда каждой точке луча поставлена в соответствие её высота над уровнем земли. Или, например, поле атмосферного давления – здесь каждой точке луча соответствует числовое значение атмосферного давления в данной точке.

Теперь подойдём к озеру и мысленно проведём над его поверхностью плоскость. Если каждой точке «водного» фрагмента плоскости поставить в соответствие глубину озера, то, пожалуйста – скалярное поле задано. В этих же точках можно рассмотреть и другие скалярные величины, например, температуру поверхности воды.

Важнейшим свойством скалярного поля является его инвариантность относительно системы координат. Если перевести на человеческий язык, то с какой бы стороны мы на лопату / озеро ни посмотрели – скалярное поле (высота, глубина, температура и т.д.) от этого не изменятся. Более того, скалярное поле, скажем, глубины можно ведь задать и на другой поверхности, например, на подходящей полусфере , или непосредственно на самой водной поверхности. А почему нет? Разве нельзя каждой точке полусферы, расположенной над озером, поставить в соответствие число? Плоскость я предложил исключительно ради удобства.

Добавим ещё одну координату. Возьмите в руку камень. Каждой точке этого камня можно поставить в соответствие его физическую плотность . И опять – в какой бы системе координат мы его ни рассмотрели, как бы ни крутили в руке – скалярное поле плотности останется неизменным. Впрочем, некоторые люди могут оспорить этот факт =) Такой вот философский камень.

С чисто математической точки зрения (вне физического или другого частного смысла) скалярные поля традиционно задают нашими «обычным» функциями одной , двух , трёх и бОльшего количества переменных. При этом в теории поля в широком ходу традиционные атрибуты этих функций, такие как, область определения , линии и поверхности уровня .

С трёхмерным пространством всё аналогично:
– здесь каждой допустимой точке пространства ставится в соответствие вектор с началом в данной точке. «Допустимость» определяется областями определения функций , и если каждая из них определена при всех «икс», «игрек», «зет», то векторное поле будет задано во всём пространстве.

! Обозначения : векторные поля также обозначают буквой либо , а их компоненты через либо соответственно.

Из вышесказанного давно и очевидно следует, что, по меньшей мере математически, скалярные и векторные поля можно определить и во всём пространстве. Однако с соответствующими физическими примерами я всё же поостерёгся, поскольку таких понятий, как температура , гравитация (или других) ведь где-то может и вовсе не существовать. Но это уже не ужасы, а научная фантастика =) И не только фантастика. Ибо внутри камней ветер, как правило, не дует.

Следует отметить, что некоторые векторные поля (те же поля скоростей) с течением времени быстро меняются, и поэтому во многих физических моделях рассматривают дополнительную независимую переменную . К слову, то же самое касается и скалярных полей – температура же, в самом деле, тоже не «застыла» во времени.

Однако в рамках математики мы ограничимся троицей , и при «встрече» таких полей будем подразумевать некоторый фиксированный момент времени либо время, за которое поле не успело измениться.

Векторные линии

Если скалярные поля описываются линиями и поверхностями уровня , то «форму» векторного поля можно охарактеризовать векторными линиями . Наверное, многие помнят этот школьный опыт: под лист бумаги помещаются магнит, а наверх (смотрим!) высыпаются железные опилки , которые как раз и «выстраиваются» по линиям поля.

Постараюсь сформулировать попроще: каждая точка векторной линии является началом вектора поля , который лежит на касательной в данной точке:

Разумеется, векторы линии в общем случае имеют разную длину, так на приведённом рисунке, при перемещении слева направо их длина растёт – здесь можно предположить, что мы приближаемся, например, к магниту. В силовых физических полях векторные линии так и называют – силовыми линиями . Другой, более простой пример – это гравитационное поле Земли: его силовые линии представляют собой лучи с началом в центре планеты, причём векторы силы тяжести расположены прямо на самих лучах.

Векторные линии скоростных полей называются линями тока . Ещё раз представьте пыльную бурю – частицы пыли вместе с молекулами воздуха как раз движутся по этим линиям. Аналогично с речкой: траектории, по которым движутся молекулы жидкости (и не только) – в прямом смысле и есть линии тока. Вообще, многие понятия теории поля пришли из гидродинамики, с чем мы ещё не раз столкнёмся.

Если «плоское» векторное поле задано ненулевой функцией , то его силовые линии можно найти из дифференциального уравнения . Решение данного уравнения задаёт семейство векторных линий на плоскости . Иногда в задачах требуется изобразить несколько таких линий, что обычно не вызывает затруднений – выбрали несколько удобных значений «цэ», начертили какие-нибудь там гиперболы , и порядок.

С пространственным векторным полем ситуация занятнее. Его силовые линии определяются соотношениями . Здесь нужно решить систему двух дифференциальных уравнений и получить два семейства пространственных поверхностей . Линии пересечения этих семейств и будут пространственными векторными линиями. Если все компоненты («пэ», «ку», «эр») отличны от нуля, то существует несколько технических способов решения. Я не буду рассматривать все эти способы (т.к. статья разрастется до неприличных размеров) , а остановлюсь на распространённом частном случае, когда одна из компонент векторного поля равна нулю. Давайте сразу распишем все варианты:

если , то нужно решить систему ;
если , то систему ;
и если , то .

И что-то непозволительно давно у нас не было практики:

Пример 1

Найти силовые линии векторного поля

Решение : в данной задаче , поэтому решаем систему :

Смысл очень прост. Так, если функция задаёт скалярное поле глубины озера, то соответствующая векторная функция определяет множество несвободных векторов, каждый из которых указывает направление наискорейшего подъёма дна в той или иной точке и скорость этого подъёма.

Если функция задаёт скалярное поле температуры некоторой области пространства, то соответствующее векторное поле характеризует направление и скорость наибыстрейшего прогревания пространства в каждой точке этой области.

Разберём общую математическую задачу:

Пример 3

Дано скалярное поле и точка . Требуется:

1) составить градиентную функцию скалярного поля;

Который равен разности потенциалов .

Иными словами, в потенциальном поле имеет значение лишь начальная и конечная точка маршрута. И если эти точки совпадают, то суммарная работа сил по замкнутому контуру будет равна нулю:

Давайте поднимем пёрышко с земли и доставим его в исходную точку. При этом траектория нашего движения опять же произвольная; можно даже бросить перо, снова его поднять и т.д.

Почему итоговый результат нулевой?

Перо упало из точки «а» в точку «бэ»? Упало. Сила тяжести совершила работу .

Перо попало обратно в точку «а»? Попало. А это значит, что была совершена точно такая же работа против сил тяжести , причём не важно с какими «приключениями» и какими силами – да хоть ветер задул его обратно.

Примечание : в физике знак «минус» символизирует противоположное направление.

Таким образом, суммарная работа сил равна нулю:

Как я уже отмечал, физическое и обывательское понятие работы отличаются. И это различие вам хорошо поможет понять не пёрышко и даже не кирпич, а, например, пианино:)

Дружно поднимите пианино и спустите его по лестнице вниз. Потаскайте по улице. Сколько захочется и где захочется. И если никто не вызвал дурку занесите инструмент обратно. Вы поработали? Конечно. До седьмого пота. Но с точки зрения физики никакой работы не совершено.

Словосочетание «разность потенциалов» подмывает рассказать ещё о потенциальном электростатическом поле, но бить током своих читателей как-то уж совсем не гуманно =) Тем более, примеров – непочатый край, ибо потенциальным является любое градиентное поле , коих пруд пруди.

Но легко сказать «пруд пруди»: вот дано нам векторное поле – как определить, потенциально оно или нет?

Ротор векторного поля

Или его вихревая составляющая, которая тоже выражается векторами.

Снова возьмём в руки пёрышко и аккуратно отправим его в плавание по реке. Для чистоты эксперимента будем считать, что оно однородно и симметрично относительно своего центра. Ось торчит вверх.

Рассмотрим векторное поле скорости течения, и некоторую точку водной поверхности, над которой находится центр пера.

Если в данной точке перо вращается против часовой стрелки, то поставим ей в соответствие исходящий несвободный вектор, направленный вверх. При этом, чем быстрее вращается перо, тем длиннее этот вектор, …мне почему-то он представляется таким чёрным-чёрным в ярких лучах солнца…. Если вращение происходит ПО часовой стрелке, то вектор «смотрит» вниз. Если же перо не вращается вовсе, то вектор нулевой.

Знакомьтесь – это и есть вектор ротора векторного поля скорости , он характеризует направление «завихрения» жидкости в данной точке и угловую скорость вращения пера (но не направление и не скорость самого течения!) .

Совершенно понятно, что роторный вектор есть у всех точек реки (в том числе тех, которые «под водой»), таким образом, для векторного поля скорости течения мы определили новое векторное поле!

Если векторное поле задано функцией , то его роторное поле задаётся следующей векторной функцией :

При этом, если векторы роторного поля реки велики по модулю и имеют тенденцию менять направление, то это вовсе не означает, что речь идёт об извилистой и неспокойной реке (возвращаемся к примеру) . Такая ситуация может наблюдаться и в прямолинейном русле – когда, например, в середине скорость выше, а у берегов ниже. То есть, вращение пера порождается различными скоростями течения в соседних линиях тока.

С другой стороны, если роторные векторы коротки, то это может быть и «петляющая» горная речка! Важно, чтобы в соседних линиях тока скорость самого течения (быстрого или медленного) отличалась незначительно.

И, наконец, отвечаем на поставленный выше вопрос: в любой точке потенциального поля его ротор равен нулю :

А точнее, нулевому вектору.

Потенциальное поле также называют безвихревым полем.

«Идеального» течения, конечно, не существует, но довольно часто можно наблюдать, что поле скорости реки близкО к потенциальному – плывут себе спокойно разные предметы и не вертятся, ...вы тоже представили эту картинку? Однако, плыть они могут и очень быстро, и по кривой, и то замедляться, то ускоряться – важно чтобы скорость течения в соседних линиях тока сохранялась постоянной .

Ну и, конечно, наше бренное гравитационное поле. Для следующего опыта хорошо подойдёт любой достаточно тяжёлый и однородный предмет, например, закрытая книга, непочатая банка пива или, кстати, кирпич, который таки дождался своего часа =) Зажмите его торцы руками, приподнимите вверх и аккуратно отпустите в свободное падение. Крутиться он не будет. А если и будет, то это уже ваши «личные усилия» или кирпич попался неправильный. Не поленитесь и проверьте этот факт! Только не бросайте ничего из окна, это уже не перо

После чего с чистой совестью и повышенным тонусом можно вернуться к практическим задачам:

Пример 5

Показать, что векторное поле является потенциальным и найти его потенциал

Решение : условие прямо утверждает потенциальность поля, и наша задача состоит в доказательстве этого факта. Найдём роторную функцию или, как чаще говорят – ротор данного поля:

Для удобства выпишем компоненты поля:

и начнём находить их частные производные – их удобно «перебирать» в «роторном» порядке, слева направо:
– и сразу проверяем, что (чтобы не выполнять лишней работы в случае ненулевого результата) . Едем дальше:

Таким образом:
, следовательно, поле потенциально, а значит, представляет собой градиентную функцию некоторого скалярного поля, заданного потенциалом .

Теорема 1. Для того, чтобы векторное поле, заданное в области Т, было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы это поле было полем ротора некоторого вектора, т.е. чтобы существовал вектор, во всех точках области Т удовлетворяющий условию

Доказательство.

Достаточность. Имеем

Необходимость. Пусть

Найдем функцию, такую, что

Ниже мы покажем, что функция определяется неоднозначно, поэтому на эту функцию можно наложить дополнительные условия. Пусть

Выберем функции

Покажем, что эти функции удовлетворяют системе уравнений (1). Действительно имеем

Действительно, построенная функция удовлетворяет условию

Функцию называют векторным потенциалом.

При доказательстве теоремы мы предложили метод, позволяющий определять векторный потенциал поля.

Замечание 1. Если функция является векторным потенциалом поля, то функция

где - произвольная скалярная функция, также является векторным потенциалом поля.

Доказательство.

Следовательно, векторный потенциал определяется неоднозначно.

Пример 1. Показать, что поле

Решение. Имеем.

Вычислим

Найденная функция является искомым векторным потенциалом. Проверим это утверждение, т.е. найдем ротор:

Условие выполнено. Нетрудно проверить, что векторным потенциалом этого поля может быть более симметричная функция

Пример 2. Показать, что поле

соленоидально и найти векторный потенциал этого поля.

Решение. Имеем.

Вычислим

Проверим:

Условие выполнено. Нетрудно проверить, что векторным потенциалом этого поля могут быть более симметричные функции

Из приведенных примеров видно, что выражения для векторного потенциала для одного и того же поля могут заметно различаться. Это связано с тем, что к найденному векторному потенциалу можно добавить градиент любой скалярной функции.